La definizione, le caratteristiche e le tipologie dei Modelli Matematici

Definizione e caratteristiche dei Modelli Matematici

Il termine modello, in generale, indica una struttura appositamente costruita per evidenziare le caratteristiche di oggetti reali. Alcune volte i modelli possono essere concreti (come ad esempio i modelli che rappresentano i prototipi di aerei, navi oppure automobili), ma spesso sono di tipo astratto, come i cosiddetti modelli matematici che usano appunto il simbolismo matematico per evidenziare determinate caratteristiche di oggetti veri. In poche parole i modelli matematici non sono altro che insiemi di relazioni che descrivono, in modo semplificato, fenomeni reali. L’interesse nella modellistica deriva dal fatto che essa consente di studiare l’evoluzione di tali fenomeni senza che questo accada realmente. Si pensi per esempio alle simulazioni matematiche degli effetti di eventi catastrofici come i terremoti in zone abitate, in grado di fornire informazioni sulle loro conseguenze che ovviamente non potrebbero mai essere note se non dopo tale evento (e di conseguenza del tutto inutili). I campi di applicazione dei modelli matematici sono attualmente i più svariati: esempi concreti sono i modelli che descrivono la dinamica delle popolazioni, oppure la diffusione di epidemie oppure lo studio dell’inquinamento in determinati territori e ambienti.

Le tipologie dei Modelli Matematici

I modelli matematici possono essere di due tipi:

1. Modelli stocastici: quando descrivono problemi influenzati da eventi casuali (ad esempio il modello matematico della teoria delle code, in cui il tempo di servizio di uno sportello è di tipo casuale);
2. Modelli deterministici: quando descrivono grandezze esatte.

Una seconda suddivisione riguarda la validità dei modelli dal punto di vista temporale, infatti i modelli matematici possono essere:

1. Modelli statici: se le relazioni tra le grandezze restano invariate nel tempo;
2. Modelli dinamici: se le relazioni tra le grandezze dipendono dal tempo.

L’approccio modellistico di un problema reale viene realizzato attraverso diverse fasi:

1. Analisi del problema: Consiste nell’analisi della struttura del problema con lo scopo di determinare l’obiettivo da raggiungere e le relazioni logico-funzionali;
2. Costruzione del modello: Si descrivono in termini matematici le principali caratteristiche del problema e si traducono le relazioni tra le grandezze del problema;
3. Analisi del  modello: Si  deducono  analiticamente  le  proprietà  matematiche  del  modello  (esistenza,  unicità  della  soluzione,  stabilità  della soluzione e altre);
4. Soluzione numerica: Si desinisce un algoritmo per determinare (anche via software) la soluzione del problema;
5. Validazione dei risultati: Si verifica la congruenza dei risultati numerici rispetto ai dati  sperimentali di cui si è in possesso. Nel caso in cui i dati siano discordanti allora si effettua un raffinamento del modello e si ripetono i passi precedenti.

Come appena detto la costruzione del modello matematico consiste nel tradurre una serie di relazioni logiche tra le grandezze reali coinvolte in termini, appunto, matematici. Per far questo è necessario applicare  leggi  fisiche, economiche, di mercato tradotte in equazioni algebriche, disequazioni, funzioni e così via. Poichè il modello è  definito per mezzo delle relazioni che lo costituiscono è necessario che queste siano il più indipendenti possibile dai dati introdotti poichè un modello deve essere usato in più  situazioni e con valori differenti. I risultati numerici devono essere considerati sempre in modo critico: la loro affidabilità dipende da molti fattori (precisione dei dati, affidabilità del software, efficacia e stabilità dell’algoritmo numerico e altri).